股價、棉花和尼羅河密碼：碎型理論之父揭開金融市場之謎 － 多碎形時間的分數布朗運動

幫助社會進步，避免冠冕堂皇而不實的理論帶來禍害，協助社會認清事實，改變人們思考的方式，讓改革從而繼續下去。

觀察線圖時，應該避免先入為主認為亞當史密斯那雙隱形的手就在幕後操縱，只有不知死活投資人，才會以價格圖的趨勢當做預測價格動向的唯一依據。背後隱含的假設是，如果了解原因，就可以預測未來、降低風險。

最大的財富與幸福將效用極大化，理性的投資人，構成了理性市場模型。人類的思考模式，不同於理論上所謂的效用函數，而且不盡然永遠理性、以個人利益為重。


規則被人發現的時候，正是它開始消亡的開始。

• 效率市場假說：在理想的金融市場中，證券市場完全反映了所有相關資訊，金融市場是買賣雙方供需均衡的公平遊戲，因此在任一時間點，價格必定是合理的。
• 股票風險溢酬(equity risk premium)：為誘使投資人把錢從銀行拿出來或從政府公債轉出來買股票，股市所需付出的代價。
• 實際應用上，資本資產定價模式牽涉的因素很多，因此看似客觀的計算結果，事實上可能像任何政治程序一樣，變得非常主觀。
• 高本益比的個股，表現比低本益比的個股差，買入的價格過高，就較不容易獲利。市價淨值比，即股價除以財務報表中所列的每股淨值，市價淨值比低的個股，即股價低於帳面淨值，其表現比市價淨值比高的個股要佳。
• 選擇權是全新的交易形態，交易的標的不是股票或貨幣本身，而是股票或貨幣的波動的程度。投資人有同質性的預期(homogeneous expectations)，投資人只能被動接受價格，無法改變或制定價格。

線索就是三個：

• 冪法則
• 貧富差距
• 異常的穩定機率分布

隨機只是不可預測，不代表非理性或雜亂無章：在市場變化迅速、動機不明、結果難料的現實世界，事前的機率，才是我們唯一的依靠。就知識論的觀點看，機率理論的價值在於，若以整體宏觀的角度來衡量，隨機現象呈現出非隨機的規律。

隨機過程不是只有一種狀態：

• 溫和狀態：最常見也最可控制的，以數學來說，即是所謂的鐘形或常態分布。峰態係數(kurtosis)衡量統計數據跟鐘形分布契合的程度，純鐘形分布峰態係數為3。
• 狂野狀態：十分不規則且難以預測，大型變化是許多小型變化累積而成，大型變化可能趨於無限大。
• 慢速狀態：介於溫和與狂野之間的第三種狀態。

在金融市場中，價格的變化會因狀態不同而有差異。價格變動既不是鐘形分布，也不是獨立事件。價值是個稍縱即逝的概念，人們對它的崇高評價其實是名過其實，金融市場的主要動力，不是來自價值或價格，而是價差，不是平均，而是套利。重要的是時間點，不是平均值。

短期資料相依性(short-time dependence)：某一時間點的價格變化情形，會影響短期內的價格。通常時間隔愈近的短期事件，其相關性愈高，時間間隔愈久的，相關性就愈低，相關性隨著時間降低，但下降的速度緩慢，不論時間多長，似乎永遠都不會消失。短期而言價格變動十分劇烈，長期而言則逐漸和緩。

最明顯的相依效應不在短期，而是長期，理論上，應該說是無限期，股價變化並非獨立事件。世上沒有人是一座孤島，每個事件、每項行動都會對其他人造成影響，在動態的系統中，任何過程的結果都受到開始的影響。

重標極差分析法(rescaled range analysis)，又稱R/S分析法，測量長期相關的程度，約瑟效應的特色在於事件有一定的順序，而諾亞效應則是事件的相對規模。多碎形都有諾亞效應，只是程度不一，也具有約瑟效應。

• 諾亞效應：巨幅波動與不連續性，越界點(crossovers)
• 約瑟效應：群聚現象

分數布朗運動(fractional Brownian motions)：看似規律的變化時而出現、時而消失，這是大多數長期記憶過程特有的現象，這些規律隨時可能消失，無法真正持久，也難以預測。經濟學家之所以忌憚長期記憶，是因為它破壞了效率市場假說。

• 自我仿射性(self-affine)：碎形在每個方向都有好幾種縮放方式，就叫做多碎形。
• 自我相似性(self-similar)：碎形都按特定的比例放大或縮小，有就是局部對應整體，可用精準而適當的公式來表示。
• 碎形維度(fractal dimension)：空間是相對的，空間的定義隨著觀察者的角度而改變，應測量的需求而有所改變。

多碎形時間的分數布朗運動(Fractional Brownian motion in multifractal time)：

風險非偶然	價格劇烈震盪是金融市場中的正常現象，而非偶然的脫序。
禍不單行	市場波動往往成群出現。
市場是有個性的	價格並非只受到實際發生的事件、新聞或人的影響，價格主要是市場內部運作的內生因素所決定的。
市場是會被誤導的	人們為了在雜亂無章法的市場硬是找出章法，往往刻意強調大起大落的現象。
市場的時間是相對的	市場有自己的時間表，快市(fast market)－市場波動較劇烈時，交易時間雞加快，慢市(slow market)－市場比較平穩時，交易時間則變得緩。

《股價、棉花與尼羅河密碼：碎型理論之父揭開金融市場之謎》，貝諾曼德伯 著，何信慧 譯，早安財經文化出版，2007年08月。